\begin{exo}
	D\'eterminer le domaine de d\'efinition des fonctions de deux variables suivantes :
	$$
	f_1(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\qquad
	f_2(x,y) = \frac{1}{x+y}\qquad
	f_3(x,y) = \frac{1}{|x|+|y|}\qquad
	f_4(x,y) = \ln(\frac{1}{xy})
	$$

	%-----------
	\begin{correction}

		$Df_1= \RR^\ast \times \RR^\ast\qquad$    $Df_2= \{ (x,y) / x+y\ne 0\}\qquad$
		$Df_3=
		\RR^2\setminus \{(0,0)\}\qquad$ $Df_4= \RR^\ast_+ \times \RR^\ast_+\cup \RR^\ast_- \times \RR^\ast_-$

	\end{correction}

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Associer \`a chacune des 12 surfaces la fonction qui lui correspond parmi les suivantes~:
	$$f_1(x,y)=x^2 \qquad f_2(x,y)=\frac{1}{6}\, (5-x+2y)  \qquad f_3(x,y)=y^2-x^2 \qquad f_4(x,y)=y$$
	$$f_5(x,y)=y^2  \qquad f_6(x,y)=-y^3 \qquad f_7(x,y)=-\sin x \qquad f_8(x,y)=1-(x^2+y^2)$$
	$$f_9(x,y)=5  \qquad f_{10}(x,y)=x^2+y^2 \qquad f_{11}(x,y)=\sin x \qquad f_{12}(x,y)=x^2+y^2-1$$
	$$f_{13}(x,y)= \cos x \qquad f_{14}(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \qquad f_{15}(x,y)=3-x-y $$
	%
	\begin{center}
		\rotatebox{-90}{\includegraphics[width=0.9\linewidth]{td4_fig}}
	\end{center}

	%-----------
	\begin{correction}

		A9 B8 C14 D13 E6 F2 G3 H7 I10 J15 K5 L12
	\end{correction}

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Donner l'allure des courbes de niveau et du graphe des fonctions de deux variables
	r\'eelles $x,y$ suivantes :
	$$f_1(x,y)=x+y  \qquad  f_2(x,y)=(x-2)^2  \qquad f_3(x,y)=(y+1)^3  \qquad f_4=x^3+y$$
	$$f_5(x,y)=x^2-y^2 \qquad f_6(x,y)=x^2+x-y  \qquad f_7(x,y)=xy \qquad f_8(x,y)=x^2+2xy+y^2$$
	$$ f_9(x,y) = x^2+y^2-2x+4y+5 \qquad\qquad f_{10}(x,y) = ax+by+c $$

	%-----------
	\begin{correction}

		courbe de niveaux $f_i(x,y)=K$ \\
		$f_1$ : droite $x+y-K=0$\\
		$f_2$ : $\emptyset$ si $K<0$, droite $x=2$ si $K=0$, 2 droites $x=2\pm \sqrt{K}$ si $K>0$\\
		$f_3$ : droite $y=-1+K^{1/3}$\\
		$f_4$ : courbe $y=K-x^3$\\
		$f_5$ : $y=\pm \sqrt{x^2-K}$ si $K\le 0$,  $x=\pm \sqrt{y^2+K}$ si $K\ge 0$\\
		$f_6$ : $y=(x+1/2)^2-1/4-K$ parabole de sommet $(-1/2, -1/4-K)$\\
		$f_7$ : $xy=K$ hyperbole \\
		$f_8$ : $\emptyset$ si $K<0$, droite $y=-x$ si $K=0$, 2 droites $y=-x\pm \sqrt{K}$ si $K>0$\\
		$ f_9$. $(x-1)^2 + (y+2)^2 =K$ : $\emptyset$ si $K<0$, point $P(1,-2)$ si $K=0$,  cercle de centre $P$ de rayon $\sqrt{K}$   si $K>0$\\
		$f_{10}$ : droite d'\'equation $ax+by+c-K=0$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Donner l'expression en coordonn\'ees polaires des fonctions suivantes :
	$$f_1(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \qquad f_2(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2} \qquad
	f_3(x,y) =  \frac{y}{x} \qquad f_4(x,y) =  \hbox{arctan }\frac{y}{x}
	$$
	En d\'eduire l'allure de ces fonctions.

	%-----------
	\begin{correction}

		$\ds{f_1(r,\theta) = r \qquad f_2(r,\theta) = \frac{1}{r^2} \qquad
		f_3(r,\theta) =  \tan \theta \qquad f_4(r,\theta) =  \theta
		}$
	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\end{document}
\begin{exo}
	Etudier la continuit\'e en $(0,0)$ des fonctions suivantes :
	\begin{itemize}
		\item $\ds{f_1(x,y) =  \frac{x y}{x^2+y^2}}\quad$  si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_1(0,0) = 0$
		\item $\ds{f_2(x,y) =  \frac{x^2 y^2}{x^4+y^2}}\quad$  si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_2(0,0) = 0$
		\item $\ds{f_3(x,y) =  \frac{x y^3}{x^2+y^2}}\quad$  si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_3(0,0) = 0$
		\item $\ds{f_4(x,y) =  \frac{x^3- y^3}{x^2+y^2}}\quad$  si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_4(0,0) = 0$
		\item $\ds{f_5(x,y) =  \frac{x^2- y^2}{x^2+y^2}}\quad$  si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_5(0,0) = 0$
		\item $\ds{f_6(x,y) = \frac{(1+x^2+y^2) \sin y}{y}}\quad$ si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_6(0,0) = 1$
		\item $\ds{f_7(x,y) = \frac{e^{x+y}-1}{x+y}}\quad$ si $(x,y)\ne (0,0)\;$
			et $f_7(0,0) = 1$
	\end{itemize}
	%
	Reprendre cet exercice en utilisant l'expression en coordonn\'ees polaires des $f_i$ ($i=1,\ldots,5$).

	%-----------
	\begin{correction}

		\begin{itemize}
			\item $\ds{f_1(x, x) =  \frac{1}{2}}\ne 0$
				Donc $f_1$ est discontinue.
			\item $\ds{ \frac{x^2 y^2}{x^4+y^2} = x^2  \frac{ y^2}{x^4+y^2} \le x^2 \longrightarrow 0}$   Donc
				$f_2$ est continue.
			\item $\ds{|f_3(x,y)| = \left| xy\, \frac{ y^2}{x^2+y^2} \right| \le |xy| \longrightarrow 0 }$ Donc
				$f_3$ est continue.
			\item $\ds{ |f_4(x,y)| =  |(x-y)\, \frac{x^2 -xy +y^2}{x^2+y^2} | \le \frac{3}{2} |x-y|  \longrightarrow 0 }$ Donc
				$f_4$ est continue.
			\item $\ds{f_5(x, 2x) =  -\frac{3}{5}} \ne 0$  Donc $f_5$ est discontinue.
			\item $\ds{\frac{\sin y}{y}\longrightarrow 1}$, d'o\`u la continuit\'e de $f_6$
			\item Au voisinage de (0,0), $\ds{e^{x+y}-1 \equiv x+y+(x+y)^2/2}$, d'o\`u la
				continuit\'e de $f_7$.
		\end{itemize}
		%
		En polaires :
		\begin{itemize}
			\item $\ds{f_1(r,\theta) =  \sin\theta \cos\theta}$ : pas de limite quand $r\rightarrow 0$
			\item $\ds{ f_2(r,\theta) = \frac{r^2 \sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^2\theta+r^2\cos^4\theta}
				\longrightarrow 0}$   quand $r\rightarrow 0$
			\item $\ds{f_3(r,\theta) =  r^2\sin^3\theta \cos\theta
				\longrightarrow 0 }$  quand $r\rightarrow 0$
			\item $\ds{f_4(r,\theta) =  r (\cos^3\theta - \sin^3\theta)
				\longrightarrow 0 }$  quand $r\rightarrow 0$
			\item $\ds{f_5(r,\theta) =  \cos\theta - \sin\theta}$  : pas de limite quand $r\rightarrow 0$
		\end{itemize}

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	On d\'efinit la fonction "signe" par $\sgn(x)=1$ si $x>0$, $=-1$ si $x<0$ et $=0$ si $x=0$. Etudier la continuit\'e de $f(x_1,x_2)=\sgn(x_1)\, \sgn(x_2)$ et de $g(x_1,x_2)=\sgn(x_1-x_2)\, \sgn(x_1+x_2)$
	%-----------
	\begin{correction}

		$f$ discontinue sur les axes et $g$ sur les bissectrices.
	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Soient $f_1,\ldots, f_n$ des fonctions continues de \RR \/ vers \RR. Montrer que la fonction $f(x_1,\ldots,x_n)=f_1(x_1)\, f_2(x_2)\ldots f_n(x_n)$ est continue sur $\RR^n$.
	%-----------
	\begin{correction}

		$\ds{ \lim_{(x_1,\ldots,x_n)\rightarrow(a_1,\ldots,a_n)} f(x_1,\ldots,x_n) = \lim f_1(x_1)\ldots f_n(x_n) =
		\lim_{x_1\rightarrow a_1} f_1(x_1) \ldots \lim_{x_1\rightarrow a_1} f_n(x_n) }$\\
		$=  f_1(a_1)\ldots f_n(a_n)=f(a_1, \ldots, a_n)$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	D\'eterminer le domaine de d\'efinition et calculer les d\'eriv\'ees partielles premi\`eres et secondes des fonctions suivantes :
	$$
	f_1(x,y) = 4x^4y^2 - 3x^2y^3 + xy -y +1 \qquad f_2(x,y)=\frac{x-y}{x+y} \qquad f_3(x,y)=x^2+xy^2-5y^4
	$$
	%
	$$ f_4(x,y)=\sin(x^2y) \qquad f_5(x,y)=\exp(xy)\sin
	x \qquad f_6(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})$$
	$$f_7(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \qquad f_8(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} \qquad f_9(x,y)=\frac{1}{x^2-xy+y^2+1}$$

	%-----------
	\begin{correction}

		\small \\
		\begin{tabular}{l|cccc}
			\hline
			& ${\cal D}_{f_i}$    & $\partial_x$     &     & $\partial_y$ \\
			& & $\partial^2_{xx}$ & $\partial^2_{xy}$ & $\partial^2_{yy}$ \\ \hline
			%
			$f_1$ & $\RR^2$ &  $16x^3y^2 - 6 xy^3+y$ & & $8x^4y - 9 x^2y^2+x-1$ \\
			& &  $48x^2y^2 - 6y^3$  & $8x^4 - 18 x^2y$ & $32x^3y - 18 xy^2+1$\\ \hline
			%
			$f_2$ & $x+y\ne 0$ & $2y/D^2$ & & $-2x/D^2$ \\
			& &  $-4y/D^3$  & $2(x-y)/D^3$ & $4x/D^3$ Ê\\ \hline
			%
			$f_3$ & $\RR^2$ &  $2x+y^2$ & & $2xy-20y^3$Ê\\
			& & $2$ & $2y$ & $2x-60 y^2$\\ \hline
			%
			$f_4$ & $\RR^2$ &  $ 2xy \cos(x^2y)$ & & $ x^2 \cos(x^2y)$Ê\\
			& & $ 2y\cos(x^2y)-4x^2y^2\sin(x^2y)$ & $2x\cos(x^2y)-2x^3y\sin(x^2y) $ & $-x^4\sin(x^2y) $\\ \hline
			%
			$f_5$ & $\RR^2$ &  $(\cos x + y\sin x)  e^{xy} $ & & $ ( x\sin x ) e^{xy} $Ê\\
			& & $ (-\sin x +2y\cos x+y^2\sin x)  e^{xy}$ & $(\sin x + x\cos x +xy \sin x) e^{xy} $ & $( x^2\sin x ) e^{xy} $\\ \hline
			%
			$f_6$ & $\RR^2\setminus(0,0)$ &  $ x/D $ & & $ y/D$Ê\\
			& & $ (y^2-x^2)/D^2$ & $ -2xy/D^2$ & $ (x^2-y^2)/D^2$\\ \hline
			%
			$f_7$ & $\RR^2\setminus(0,0)$ &  $4xy^2/D^2$ & & $-4x^2y/D^2$Ê\\
			& & $4y^2(-3x^2+y^2)/D^3$ & $8xy(x^2-y^2)/D^3 $ & $4x^2(-x^2+3y^2)/D^3 $\\ \hline
			%
			$f_8$ & $\RR^2\setminus(0,0)$ &  $y(y^2-x^2)/D^2$ & & $x(x^2-y^2)/D^2$Ê\\
			& & $2xy(x^2-3y^2)/D^3$ & $(-x^4+6x^2y^2-y^4)/D^3$ & $2xy(-3x^2+y^2)/D^3$\\ \hline
			%
			$f_9$ & $\RR^2$ &  $(-2x+y)/D^2 $ & & $(x-2y)/D^2 $Ê\\
			& & $2(3x^2-3xy-1)/D^3 $ & $(-3x^2+9xy-3y^2+1)/D^3 $ & $2(3y^2-3xy-1)/D^3 $\\ \hline
		\end{tabular}
		\normalsize

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Calculer les d\'eriv\'ees directionnelles des fonctions suivantes dans la direction $d$:
	\begin{itemize}
		\item $\ds{f(x,y)=x e^{x+y}}$, $d=(1,2)$
		\item $\ds{g(x,y)=\frac{x-y}{x+y}}$, $d=(3,-1)$
	\end{itemize}

	%-----------
	\begin{correction}

		$\ds{\frac{\partial f}{\partial d}=(3x+1)e^{x+y}} \qquad$
		$\ds{\frac{\partial g}{\partial d}=\frac{2(x+3y)}{(x+y)^2}}$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============

